hipérbola con centro fuera del origen

o. identificar los elementos  de la hipérbola  con centro fuera del origen.

cuando una hipérbola no se encuentra en el origen sus elementos se representan en función del centro.

                                              Eje  conjugado =2a
                              Eje transverso =2b

                               

                        e=c/a=1

Hipérbola

o. identificar los elementos de la hipérbola




La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

identificar las variables :


a= distancia entre centro - vértice

b= distancia entre centro y eje transverso

c= distancia entre centro y foco





La excentricidad es mayor o igual a uno y sus elementos se calculan con las siguientes expresiones:

                                              eje conjugado =2a
                                                                 
                                                                 

e=c/a                                                    eje transverso=2b

                                        focos(c,0) y (-c,0)                                              

                                                                vértices (a,0) y (-a,0)









ejemplo


                           
paso 1
         



paso 2
Eje conjugado= 2a = 2(3)= 6u
Eje transverso = 2b=2(4)=8u


e= c/a=5/3=1.6671

paso 3

Parábola con vértice fuera del origen

O.identificar la ecuación de una parábola con vértice fuera del origen.




Cuando el vértice de la parábola se localiza en cualquier punto, por convención ubicado en las coordenadas (h, k), y distinto al origen, la ecuación que describe a la parábola cambia en función de la posición de este punto y de la orientación de apertura respecto de los ejes x e y.


Las ecuaciones para calcular los elementos de una parábola con vértice fuera del origen son ;

elipse

una elipse es el lugar  geométrico que se forma a partir de un corte diagonal a un cono su ecuación se define como una ecuación cuadrática  donde la variable de pendiente  e independiente  son de segundo  grado de diferente  coeficiente y de signo positivo las siguientes ecuaciones  representan en forma gráfica  lugares geométricos siticos.

 una  elipse   se define como una cónica formada cuando se realiza un corte  en diagonal a un cono, en forma  análoga a la parábola  es una cónica formada por dos partes que se encuentran  con el mismo  eje simétrico y su concavidad  es opuesta.

sus elementos importantes son:

a) vértice                      d)eje mayor (distancia  entre vértices)                  g)  excentricidad

b) foco                        e)eje menor  (ancho de la  parábola)

c)lado recto                  f) directriz


para calcular los elementos de una parábola  cuando el centro se encuentra en el origen  se deben identificar los valores de la  distancia focal, la distancia del foco al centro y la  distancia del centro a eje menor  (a,b,c).


las  ecuaciones matemáticas  utilizadas en esta cónica se representan en el siguiente esquema;

 a= distancia centro vértice

b= distancia centro eje menor 

c= distancia centro foco 

Eje mayor =2a

Eje menor=2b

excentricidad=c/a 

                                         

 ejemplo:

      

  

       

 

E.menor 2b= 2(4)= 8u

E.mayor 2a= 2(5)=10u

3-4= 1

Parábola

O. identificar la ecuación de una parábola  con centro en el origen

para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen debemos  identificar el valor de la distancia focal "p" los elementos importantes de una parábola son:

a) vértice
b) foco
c) directriz

as ecuaciones para calcula los elementos  de una parábola con vértice en el origen son:

Circunferencia con centro fuera del origen

O.Identificar la ecuación  de la circunferencia  con centro del origen

La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen  se determina con  la ecuación.

r= radio
c= (h,k)

La ecuación general se calcula desarrollando los binomios al cuadrado e igualando la ecuación a cero obteniendo una ecuación de  la forma:

Circunferencia

                                       O.Identificar la ecuación de la circunferencia.

Las cónicas se definen como aquellos lugares geométricos  que forman a partir   de  cortes realizados un   cono , si el cono se corta en forma horizontal se obtiene una circunferencia , si el corte se realiza en forma diagonal se obtiene  una  elipse, si el corte se realiza vertical se obtiene una parábola si el corte se realiza  a dos conos  concéntricos  se obtiene una hipérbola.

   Una circunferencia se define como el lugar geométrico formado por puntos equidistantes  a un punto llamado centro, la distancia entre el centro  y cual quier punto se denomina radio.

Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen    se representa  matemáticamente con la siguiente ecuación:

 

Recta

O. Identificar la ecuación de la recta general , pendiente  ordenada al origen y dos puntos.


La recta se define como un conjunto de puntos unidireccionales que cuenten con una pendiente y  relación  entre ordenadas  y abscisas  y un angulo de inclinación. matemáticamente se calcula con la  siguiente ecuación:

La recta se puede representar de diversas formas:


A) Pendiente ordenada al origen.

Como su nombre lo dice se debe conocer el  valor  de la pendiente  y el punto  donde esta corta al eje de las ordenadas, se representa despejando a la ordenada de la ecuación.

Para graficar una recta a partir de la ecuación pendiente ordenada al origen se debe identificar el angulo de inclinación y el punto donde corta la ordenada.

Y= mx + b

b = Punto donde corta la recta al eje "y"

 m = Pendiente





Ejemplo:

B)  Forma general

Cuando se tienen dos puntos  es recomendable utilizar esta ecuación  antes de indicar  las ecuaciones restantes, la  "Ecuación general"  se representa cuando la ecuación se iguala a cero.

 Formula general:

Ax + By + C=0


La siguiente ecuación pasaremos a 3x y 4 del lado de "y"  como dice la formula respetando la ley de signos.
y= 3x+4

El resultado de la formula general es la  Ecuación general
-3x + y - 4=0



C)  Ecuación dos puntos

Esta ecuación  se logra  siguiendo la formula :

En cada punto nombraremos a  x1, y1, x2,y2 , posteriormente los acomodaremos  como nos muestra la formula                                                                                                                                             

D) Para representar  una recta conociendo un punto por donde pasa y la pendiente o angulo  de inclinación se utiliza la ecuación;

(y-y1)=m(x-x1)

A partir de esta ecuación se pueden encontrar las ecuaciones restantes.


E)  Forma reducida

 el valor de a y b  indican  el punto donde la recta corta a los ejes coordenados, gráficamente se indican a si:

                                                                Área de polígonos
                                                  O. Calcular el área de un polígono
Para calcular el área de un polígono conociendo sus vértices se realiza una determinante  con cada uno de ellos matemáticamente   se puede expresar con la siguiente ecuación:

Ejemplo :

calcule el área del  siguiente  triangulo   formado por los puntos:A(2,1), B(-2,2),C(1,-2)

Espacio Tridimensional y Subdivisión en Cuadrantes

OBJ: Identificar las vistas de un isométrico.

   
     Un isométrico cuenta  con tres vistas principales,generalmente el observador  se presenta del lado izquierdo  del objeto obteniendo a si la siguiente imagen.



Para representar las vistas de un objeto se utiliza con un cuadrante con dos ejes perpendiculares  colocando una linea auxiliar a 45°  en el primer cuadrante graficando  las vistas de la siguiente manera.




Para gráficar las vistas de un objeto se debe generar el volumen del mismo representando  a escala cada una de las medidas utilizando paralelas que  van a auxiliar en los cortes a cada una de  las vistas.

ISOMÉTRICAS

OBJ: Representar un objeto en isométricas aplicando una escala.

La escala se define como una representación de un objeto de forma proporcional  donde se puede calcular la proporción mediante la siguiente ecuación:

                           Escala=Dibujo/Realidad

Cuando se realiza  una representación donde se incrementen los valores de cada magnitud la relación debe ser mayor a uno, en caso  contrario la relación es menor a uno.

Para representar una escala en lugar de diagonal  se representan con dos puntos como muestra la siguiente proporción:

                 2:1      5:1     100:25  Ampliación 

                      

                 1:2       3:1      100:125 Reducción

Isométrico

OBJ: Representar un objeto en un sistema tridimensional.

Un isométrico representa un objeto en forma tridimensional utilizando proyecciones con una inclinación de 30° con respecto a la horizontal para conservar las medidas ya sea a escala ó con su valor real. 

Represente un prisma rectangular de Base 5 cm , Profundidad 9 cm, Altura 4 cm.



1.- Trazamos una linea horizontal,  al centro  trazamos una linea vertical de 90° y dos lineas horizontales  a 30°  de cada lado.



2.- La linea del lado izquierdo la base y esta medirá 5 cm  y linea de lado derecho es la profundidad y esta medirá  9 cm.

3.- Colocamos 1 linea recta de 4 cm al final de base y profundidad

4.- Con nuestras escuadras trazamos  nuestras lineas perpendiculares de la parte posterior.


5.- Trazamos las proyecciones imaginarias para concluir nuestro isométrico    

 

TIPOS DE PROYECCIÓN

OBJ: IDENTIFICAR  LOS TIPOS DE PROYECCIÓN 

De acuerdo  a la posición  del observador  se puede clasificar las proyecciones como se representa en el siguiente esquema.

A) Proyección cónica ortogonal.                                                                                                              

Es aquella proyección donde  las lineas  de proyección concurren en un punto y estos  se presentan en forma  horizontal.                                                                                                                                      

B) Proyección  cónica oblicua.                                                                                                                   Es aquella proyección en donde el observador  y el plano de proyección se encuentra a  diferente altura  como se muestra  en el siguiente esquema.                                                                           

                                                                             

C) Proyección  paralela  ortogonal.                                                                                                                 Es aquella  proyección  en donde el observador   se encuentra a una distancia indefinida  del plano de proyección son paralelas.                                                                                                           

D) Proyección paralela oblicua.                                                                                                                      En esta proyección las lineas de proyección se representan en forma diagonal como muestra el        siguiente esquema:                                                                                                                            

Una proyección permite representar  un isométrico (representación de un objeto sin alterar sus proporciones) utilizando diferentes transformaciones entre las cuales se encuentran:                

a) Traslación:                                                                                                                                                Es el cambio de ubicación de los puntos de una figura plana en una misma dirección, sentido y            longitud, se puede representar el movimiento mediante flechas que reciben el nombre de vectores.

   Ejemplo:  realizaremos un cuadrado de 5x5 cm y una traslación de 10 cm 

   1.- Trazaremos nuestro cuadrado de 5x5 cm

   2.-Colocaremos una lineas verticales  de 30° en cada  vértice como se muestra :

    

    3.-Con nuestro compras colocaremos  los puntos de traslación, lo abriremos a 10 cm y trazaremos            los puntos desde cada vértice de nuestra figura. 

    4.- Uniremos los puntos para terminar nuestra traslación. 

    

  

b) Reflexión:                                                                                                                                                  Es una representación, de una figura original a otra llamada imagen, utilizando una recta llamada        eje de simetría utilizando rectas perpendiculares como muestra el siguiente esquema.                    

       

    Ejemplo:  trazaremos  un triangulo de  3,4,4 cm

1.- trazaremos una linea horizontal de 3 cm. Abrimos nuestro compás a 4 cm y trazamos en cada uno de los puntos  donde  se encuentran las lineas trazamos 2 lineas mas para completar el triangulo.

 2.- colocamos una linea recta de 90°  a distancia de nuestra preferencia.                                             

3.- colocamos 2 lineas paralelas                                                                                                               

4.- con nuestro compás tomaremos la medida de cada vértice a la linea recta del primer triangulo y  esa misma  de la recta colocaremos unos puntos de referencia

 5.- trazamos 3 lineas para juntar los puntos y a si estos formen  la reflexión de la primer imagen 

c) Simetría central:                                                                                                                                        En esta transformación se realiza la imagen utilizando proyecciones de los puntos llamado                   punto de simetría, trasladando las distancias con el compás.                                                                    

     Ejemplo: trazaremos  un trazaremos  un triangulo de 3,5,6 cm 

1.-  trazaremos una linea horizontal de 3 cm. Abrimos nuestro compás a 5 cm y trazamos en  el primer  punto y en el segundo 6 cm donde  se encuentran las lineas trazamos 2 lineas mas para completar el triangulo.

   

2.-  colocamos un punto frente de la figura  y sobre este cruzamos las proyecciones de los vértices de        la figura.

 3.- con nuestro compás tomaremos la medida de cada vértice al punto  del primer triangulo y  esa misma  de la recta colocaremos unos puntos de referencia

4,- Unimos los puntos para formar un triangulo  y terminar nuestra simetría  central 

d) Rotación:

    Esta  transformación se realiza a partir  de un punto de rotación con un angulo de rotación                   determinado se realiza en forma positiva en sentido anti-horario y negativa en sentido horario. 

Ejemplo:   realizaremos un triangulo equilátero  de 6 cm con una rotación de 90°.                                                            

1.- Colocaremos nuestro triangulo y  un punto  al frente  de el (la distancia  entre el punto y el triangulo la decides tú)                                                                                                        

2.- Colocaremos proyecciones hacia el punto  y  de cada una de estas trazaremos 90°.                

           

3.- Con el compás trazaremos las medidas de cada vértice  a la linea que les corresponda            

 4.-Unimos los puntos  antes marcados para concluir la rotación.